Marienbad, le jeu et sa résolution


Règle du jeu
Rappelons tout d’abord la règle du jeu de Marienbad popularisé par le film L'Année dernière à Marienbad réalisé par Alain Resnais, sorti en 1961.

On dispose de 4 rangées de jetons ou d’allumettes ou autres… Soit ici, respectivement 1, 3, 5 et 7 allumettes À chaque tour, chacun des joueurs prend le nombre d’allumettes qu’il veut, mais au moins une et ceci dans une seule rangée. Voici un plateau pour vous entraîner. La règle est celle de la variante 2, le joueur qui prend la dernière allumette a perdu :




   Jeu de Marienbad

Qui commence ?

Prenez au moins une allumette dans une seule rangée à chaque tour.
Celui qui laisse la dernière allumette à l'autre a gagné.
   Qui commence ?

Faites votre
choix...
A moi de
jouer...
Félicitations !
Vous avez gagné !!!
Pas de chance !
J'ai gagné !!!


Méthode pour gagner
Au jeu de Marienbad, il existe des combinaisons dites gagnantes. Ce sont ces combinaisons-là que vous devez retourner à votre adversaire pour gagner. Toutes les autres sont réputées perdantes. Pour savoir si une combinaison est gagnante, il faut traduire le nombre d’allumettes de chaque rangée en base binaire et en faire la somme en base décimale.

Si le résultat ne comporte que des nombres pairs, la combinaison est dite gagnante. Si le résultat comporte des nombres impairs, la combinaison est dite perdante.

Si vous n'êtes pas familier avec ces notions, vous pouvez visiter cette page de Wikipédia. Et si vous y êtes vraiment allergique, rassurez-vous, il suffit de partir de cette correspondance :

Base décimale Base binaire
0   0  
1   1  
2   10  
3   11  
4   100  
5   101  
6   110  
7   111  

Le joueur qui hérite d’une combinaison perdante doit alors modifier une des rangées de telle sorte qu’en effectuant la somme en base décimale des valeurs binaires comme ci-dessus, il obtienne uniquement des nombres pairs, ce qui lui permet de retourner une combinaison gagnante, et ainsi de suite.

Le joueur qui hérite d’une combinaison gagnante ne peut jamais retourner une combinaison gagnante.

Dans la variante 1, cette méthode s’applique complètement. Dans la variante 2, il faut inverser la logique en fin de partie. Ce point sera précisé à la fin du prochain paragraphe.

Ici, la position de départ donne 1+11+101+111= 224. C’est une combinaison gagnante. En considérant que les joueurs jouent de façon parfaite, celui qui commence est donc assuré de perdre.

On peut imaginer d’autres situations de départ avec plus ou moins de rangées contenant plus ou moins d’allumettes, la méthode décrite ici est toujours valable en tenant toujours compte de l’exception de la variante 2.

Encore faut-il le démontrer… Alors, allons-y.

Démonstration de la validité de la méthode
Il existe des démonstrations mathématiques du mécanisme présenté au paragraphe précédent. Par exemple sur cette page Wikipédia Ces démonstrations se basent sur les travaux de Charles Bouton.

Pour un non-mathématicien, elles paraissent plutôt obscures, aussi, je vais essayer d’en faire une démonstration en utilisant uniquement des raisonnements logiques de façon à rester accessible au plus grand nombre.

Tout d’abord, oublions le jeu lui-même et concentrons-nous uniquement sur la manipulation des valeurs et de leur représentation.

Soit une série quelconque de valeurs exprimées sous forme binaire :

1010110
1010
101001
11
101110

Ici, nous avons successivement 86, 10, 41, 3 et 46, mais cela n’a aucune importance.

L’addition sous forme décimale de chaque colonne, que nous appellerons « total » entre guillemets, donne successivement 1, 2, 1, 3, 2, 4 et 2 que nous noterons 1213242 pour simplifier.

Il suffit d’ajouter à ce total 1011000 pour obtenir la suite de nombre 2224242 et faire ainsi en sorte que le nouveau « total » décimal ne soit composé que de nombres pairs. Ce qui donne :

1010110
1010
101001
11
101110
1011000

« Total » décimal : 2224242


Cette façon de « compter » est évidemment bizarre d’un point de vue mathématique, mais elle a une propriété importante :

Si l’on modifie une seule des valeurs, il est strictement impossible d’obtenir comme « total » une suite de nombres pairs. En effet, pour modifier une valeur, on ne peut que supprimer ou ajouter un ou plusieurs chiffres 1 dans la rangée choisie et, par conséquent, rendre impair un ou des nombres parmi ceux qui composent le « total ».

Ceci étant dit, voyons si on ne peut pas utiliser ce principe pour créer un jeu…

Soit 2 allumettes disposées sur deux rangées comme ceci :



(Figure 1)

La règle du jeu sera simple : Les joueurs doivent prendre une allumette chacun à leur tour et c’est celui qui prend la dernière qui gagne. Ce n’est pas encore Marienbad, mais on y viendra. Évidemment, ici, celui qui commence a perdu.

Compliquons un petit peu :




Maintenant, on peut prendre le nombre d’allumettes que l’on veut, mais dans une seule rangée. Ici, il suffit de prendre 1 allumette dans la première rangée pour arriver à la figure 1 et gagner. Ce sera valable quel que soit le nombre d’allumettes de la première rangée, il suffira de n’en laisser qu’une.

Compliquons encore :




La règle ne change pas. Maintenant, il faut éviter que l’adversaire puisse nous renvoyer la figure 1. Il faut donc ne prendre qu’une allumette dans la première rangée :




Ensuite, si l’autre joueur prend une seule allumette, on fait de même sur l’autre rangée et on revient à la figure 1. S’il en prend 2 (appelons ça un « suicide ») on prend le reste et c’est gagné !

On peut continuer comme cela indéfiniment. Sauf si un joueur se « suicide » en cours de jeu, on en viendra toujours à la figure 1 qui sera gagnante, quels que soient le nombre de rangées et le nombre d’allumettes dans chaque rangée.

Avec les règles indiquées ici, notamment celle qui énonce que le gagnant est le joueur qui prend la dernière allumette, la figure 1 est donc le passage obligé pour gagner (toujours avec 2 joueurs qui jouent de façon parfaite jusqu’au bout).

Revenons maintenant sur notre façon de compter du début. On a montré qu’à partir d’un « total » pair on ne pouvait jamais retourner un autre « total » pair. Donc, en appliquant ce principe à notre jeu, et en considérant deux joueurs « parfaits », celui qui retourne une combinaison dont le « total » est impair a perdu puisqu’il ne pourra jamais retourner la figure 1 à son adversaire.

Encore faut-il démontrer qu’au coup suivant, quelle que soit la combinaison qui a donné ce nouveau « total » impair, le joueur peut alors retourner un « total » pair.

Pour cela, prenons un « total » impair quelconque, par exemple celui pris au début de la démonstration :

1010110
1010
101001
11
101110

Le « total » est dans ce cas 1213242, « total » qui contient 3 nombres impairs.

Ici, il suffit de modifier la première rangée de la façon suivante :

Ce qui donnera une première rangée contenant maintenant 1110 (de 86 on passe à 14) et un nouveau « total » décimal de 204242 contenant uniquement des nombres pairs.

La règle pour rendre pair un « total » impair est donc : Utiliser une des rangées qui contient le chiffre 1 dans la colonne la plus à gauche donnant une somme impaire, enlever ce 1 et, si nécessaire, remplacer des 0 par des 1 ou des 1 par des 0 dans cette même rangée, dans toutes les autres colonnes donnant une somme impaire. Cette opération est évidemment toujours possible puisqu’elle revient à enlever des allumettes d’un tas.

Le jeu de Marienbad commence par une combinaison à « total » décimal pair. Il suffit donc de ne pas commencer le premier et d’appliquer ces principes pour être gagnant à chaque fois, dans le cas où c’est celui qui prend la dernière allumette qui gagne (variante 1). CQFD.

Attention aux subtilités de la variante 2 !
La variante 2 (la plus répandue à ma connaissance) veut que ce soit celui qui prend la dernière allumette qui perd. Elle n’est pas très différente de la variante 1, il faut, juste à la fin du jeu, inverser la logique, tout simplement parce que la figure 1 est devenue une combinaison systématiquement perdante !

Alors, voyons ce qui se passe juste avant d’arriver à la figure 1 :



Cette combinaison 2 et 2 reste malgré tout une combinaison gagnante dans les deux variantes :

Dans la variante 1, si le joueur prend 2 allumettes il a perdu et s’il prend 1 allumette l’autre joueur prendra 1 allumette dans l’autre rangée pour le faire perdre, comme on l’a vu plus haut.

Dans la variante 2, si le joueur prend 2 allumettes l’autre joueur prendra 1 allumette dans l’autre rangée pour le faire perdre et, s’il n’en prend qu’une, l’autre joueur prendra les 2 allumettes de l’autre rangée pour le faire perdre.

Il y a encore une subtilité, et pas des moindres, dans la variante 2 :




Cette combinaison qui donne 3 comme « total » décimal devient, à cause de l’inversion de la règle, une combinaison gagnante !

Il faut donc avoir l’œil et ne jamais laisser à l’adversaire la possibilité de la retourner. Autrement dit, la combinaison :





Qui donne 4 comme « total » décimal n’est pas une combinaison gagnante dans la variante 2 ! On peut d’ailleurs penser que c’est cette difficulté supplémentaire qui a fait le succès de cette variante. Mais, hormis ces petites subtilités, la méthode générale s’applique tout au long du jeu quelle que soit la variante.

Voilà. Il ne vous reste plus qu’à vous entraîner à convertir de tête des petites valeurs binaires qui, pour le jeu de Marienbad, ne dépassent pas 7, à en faire la somme en base décimale mentalement et, toujours mentalement, à trouver la combinaison gagnante suivante…

Et enfin, quand vous serez bien rodé, vous pourrez défier vos amis…

À vous de jouer !

Pour ceux qui ont de la mémoire, mais qui ne sont pas doués pour ce genre de calcul mental, il est possible d’apprendre par cœur toutes les combinaisons gagnantes. Mais bon, c’est un peu moins gratifiant

Combinaisons gagnantes à 4 nombres :

1357 – 1346 – 1256 – 1247 – 1155 – 1144 – 1133 – 1122

Combinaisons gagnantes à 3 nombres :

356 – 347 – 257 – 246 – 145 – 123

Combinaisons gagnantes à 2 nombres :

55 – 44 – 33 – 22

Combinaisons gagnantes finales variantes 1 :

1111 - 11

Combinaisons gagnantes finales variantes 2 :

111 - 1

Remerciements
Un grand merci, malheureusement posthume, à Jean-Louis Duthérage, qui m’a donné l’astuce à la sortie du film d’Alain Resnais quand nous étions en terminale (par la suite, Jean-Louis est devenu professeur de mathématiques).

Un grand merci à Lydie Marrauld, professeur de mathématiques également (à la retraite), qui m’a poussé à élaborer cette démonstration.

Un grand merci à l’association AILE de Cugnaux qui, au travers de l’organisation de cours d’informatique, m’a permis de faire revivre mon logiciel Marienbad, écrit dans les années 90, logiciel que vous pouvez retrouver à la fin du dernier exercice de la série ExOrdi en ligne sur exoweb.org (Thème 7/3/3).

Et enfin, un grand merci à Tagor la Pie qui a accepté, entre deux parties de poker, d'héberger ce document sur son site...

Guy Leblond,
Association RUSh.
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